Наличие на вас завещания не играет роли при наследовании по закону. Если квартира завещана вам — она ваша. После смерти отца его доля в приватизированной вместе с мамой квартире, делится равными частями (долями) между наследниками первой очереди, которыми являются дети, супруга и родители наследодателя. Если из этой категории кроме вас и мамы никого нет, значит его 1/3 квартиры должна быть разделена между вами. Обратитесь к нотариусу с заявлением о принятии наследства, по поводу мамы, проконсультируйтесь с нотариусом, если он сочтет что дееспособность матери позволяет ей вступить в наследство, значит будете определяться с ним как оформить на неё документы (возможно через доверенность), если возникнут проблемы с дееспособностью, соответственно нужно будет оформлять документы на представление её интересов (опека, попечительство, патронаж)