Нужно ли отрабатывать две недели, если написал заявление на увольнение на испытательном сроке?

Нет, не нужно.

«Отработка» на испытательном сроке — не более 3 дней

Статья 71 ТК РФ

При неудовлетворительном результате испытания работодатель имеет право до истечения срока испытания расторгнуть трудовой договор с работником, предупредив его об этом в письменной форме не позднее чем за три дня с указанием причин, послуживших основанием для признания этого работника не выдержавшим испытание.

Доброй ночи, Александр! Заявление по собственному желанию пишется не позднее, чем за 2 недели до даты увольнения (ст. 80 ТК РФ). Но в той же статье ТК РФ указано, что по соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении. В принципе, если Вы написали заявление и в нем указали дату увольнения, Вы имели право отработать эти дни. Но в этом случае был бы риск, что начальник воспримет это в штыки и Вас могли бы уволить по результатам испытательного срока. Лучше уж уволиться по собственному желанию. И трудовую книжку такое увольнение (пусть даже месяца не прошло) Вам не испортит. Не Вас же уволили, а Вы уволились сами, Значит у Вас были на то свои причины. Вам беспокоиться не о чем. Удачи!