Как подать в суд на частную клинику, если нарушена устная договоренность?

есть, шансы. так как факт оплаты имеется (квитанция). Экспертиза может определить качественно Вам оказали услугу или нет.

Статья 29. ФЗ о защите прав потребителей. Права потребителя при обнаружении недостатков выполненной работы (оказанной услуги)
КонсультантПлюс: примечание.
О правах потребителя — участника долевого строительства в случае, если объект долевого строительства построен с отступлением от условий заключенного договора, приведшим к ухудшению качества такого объекта, см. п. 2 ст. 7 Федерального закона от 30.12.2004 N 214-ФЗ.
1. Потребитель при обнаружении недостатков выполненной работы (оказанной услуги) вправе по своему выбору потребовать:
безвозмездного устранения недостатков выполненной работы (оказанной услуги);
соответствующего уменьшения цены выполненной работы (оказанной услуги);
безвозмездного изготовления другой вещи из однородного материала такого же качества или повторного выполнения работы. При этом потребитель обязан возвратить ранее переданную ему исполнителем вещь;
возмещения понесенных им расходов по устранению недостатков выполненной работы (оказанной услуги) своими силами или третьими лицами.
Удовлетворение требований потребителя о безвозмездном устранении недостатков, об изготовлении другой вещи или о повторном выполнении работы (оказании услуги) не освобождает исполнителя от ответственности в форме неустойки за нарушение срока окончания выполнения работы (оказания услуги).
(в ред. Федерального закона от 17.12.1999 N 212-ФЗ)
Потребитель вправе отказаться от исполнения договора о выполнении работы (оказании услуги) и потребовать полного возмещения убытков, если в установленный указанным договором срок недостатки выполненной работы (оказанной услуги) не устранены исполнителем. Потребитель также вправе отказаться от исполнения договора о выполнении работы (оказании услуги), если им обнаружены существенные недостатки выполненной работы (оказанной услуги) или иные существенные отступления от условий договора.
(в ред. Федерального закона от 21.12.2004 N 171-ФЗ)
Потребитель вправе потребовать также полного возмещения убытков, причиненных ему в связи с недостатками выполненной работы (оказанной услуги). Убытки возмещаются в сроки, установленные для удовлетворения соответствующих требований потребителя.
2. Цена выполненной работы (оказанной услуги), возвращаемая потребителю при отказе от исполнения договора о выполнении работы (оказании услуги), а также учитываемая при уменьшении цены выполненной работы (оказанной услуги), определяется в соответствии с пунктами 3, 4 и 5 статьи 24 настоящего Закона.
(в ред. Федерального закона от 21.12.2004 N 171-ФЗ)
3. Требования, связанные с недостатками выполненной работы (оказанной услуги), могут быть предъявлены при принятии выполненной работы (оказанной услуги) или в ходе выполнения работы (оказания услуги) либо, если невозможно обнаружить недостатки при принятии выполненной работы (оказанной услуги), в течение сроков, установленных настоящим пунктом.
Потребитель вправе предъявлять требования, связанные с недостатками выполненной работы (оказанной услуги), если они обнаружены в течение гарантийного срока, а при его отсутствии в разумный срок, в пределах двух лет со дня принятия выполненной работы (оказанной услуги) или пяти лет в отношении недостатков в строении и ином недвижимом имуществе.
(п. 3 в ред. Федерального закона от 17.12.1999 N 212-ФЗ)
4. Исполнитель отвечает за недостатки работы (услуги), на которую не установлен гарантийный срок, если потребитель докажет, что они возникли до ее принятия им или по причинам, возникшим до этого момента.
В отношении работы (услуги), на которую установлен гарантийный срок, исполнитель отвечает за ее недостатки, если не докажет, что они возникли после принятия работы (услуги) потребителем вследствие нарушения им правил использования результата работы (услуги), действий третьих лиц или непреодолимой силы.
(п. 4 введен Федеральным законом от 17.12.1999 N 212-ФЗ)
5. В случаях, когда предусмотренный договором гарантийный срок составляет менее двух лет (пяти лет на недвижимое имущество) и недостатки работы (услуги) обнаружены потребителем по истечении гарантийного срока, но в пределах двух лет (пяти лет на недвижимое имущество), потребитель вправе предъявить требования, предусмотренные пунктом 1 настоящей статьи, если докажет, что такие недостатки возникли до принятия им результата работы (услуги) или по причинам, возникшим до этого момента.
(п. 5 введен Федеральным законом от 17.12.1999 N 212-ФЗ)
6. В случае выявления существенных недостатков работы (услуги) потребитель вправе предъявить исполнителю требование о безвозмездном устранении недостатков, если докажет, что недостатки возникли до принятия им результата работы (услуги) или по причинам, возникшим до этого момента. Это требование может быть предъявлено, если такие недостатки обнаружены по истечении двух лет (пяти лет в отношении недвижимого имущества) со дня принятия результата работы (услуги), но в пределах установленного на результат работы (услуги) срока службы или в течение десяти лет со дня принятия результата работы (услуги) потребителем, если срок службы не установлен. Если данное требование не удовлетворено в течение двадцати дней со дня его предъявления потребителем или обнаруженный недостаток является неустранимым, потребитель по своему выбору вправе требовать:
(в ред. Федерального закона от 17.12.1999 N 212-ФЗ)
соответствующего уменьшения цены за выполненную работу (оказанную услугу);
возмещения понесенных им расходов по устранению недостатков выполненной работы (оказанной услуги) своими силами или третьими лицами;
отказа от исполнения договора о выполнении работы (оказании услуги) и возмещения убытков.
(в ред. Федерального закона от 21.12.2004 N 171-ФЗ)

Здравствуйте, Анна! Квитанция об оплате тоже является документом, поэтому шанс на положительный результат в суде у Вас есть.