Должна ли была быть проведена проверка показаний спидометра?

Добрый день!

В случае причинения ущерба работодателю работник обязан его возместить (ст. 238 Трудового кодекса). Но, как Вы правильно заметили, должна быть проведена проверка с Вашим участием, далее Вам в письменной форме должны предложить возместить ущерб. В случае Вашего отказа — работодатель имеет право обратиться в суд. Но опять же, работодатель обязан доказать Вашу вину и прочие обстоятельства.
Порядок взыскания установлен в ст. 248 Трудового кодекса:

Взыскание с виновного работника суммы причиненного ущерба, не превышающей среднего месячного заработка, производится по распоряжению работодателя. Распоряжение может быть сделано не позднее одного месяца со дня окончательного установления работодателем размера причиненного работником ущерба.
Если месячный срок истек или работник не согласен добровольно возместить причиненный работодателю ущерб, а сумма причиненного ущерба, подлежащая взысканию с работника, превышает его средний месячный заработок, то взыскание может осуществляться только судом.
При несоблюдении работодателем установленного порядка взыскания ущерба работник имеет право обжаловать действия работодателя в суд.

Работник, виновный в причинении ущерба работодателю, может добровольно возместить его полностью или частично. По соглашению сторон трудового договора допускается возмещение ущерба с рассрочкой платежа. В этом случае работник представляет работодателю письменное обязательство о возмещении ущерба с указанием конкретных сроков платежей. В случае увольнения работника, который дал письменное обязательство о добровольном возмещении ущерба, но отказался возместить указанный ущерб, непогашенная задолженность взыскивается в судебном порядке.
С согласия работодателя работник может передать ему для возмещения причиненного ущерба равноценное имущество или исправить поврежденное имущество.
Возмещение ущерба производится независимо от привлечения работника к дисциплинарной, административной или уголовной ответственности за действия или бездействие, которыми причинен ущерб работодателю.