Несет ли ответственность супермаркет за машины, стоящие на его парковке?

стоянка бесплатная, без оформления. Стоянка обозначена знаками

Супермаркет в данном случае не будет нести ответственность за сохранность автомобиля.

Основное законодательное требование к договору хранения: согласно п. 2
ст. 887 ГК РФ он должен быть заключен в письменной форме. Письменная
форма договора считается соблюденной и в случае, когда принятие вещи на
хранение удостоверено выдачей сохранной расписки, квитанции,
свидетельства или иного документа, подписанного хранителем.

Вы не заключали с супермаркетом договор хранения транспортного средства.

Но если повреждение Вашему автомобилю было причинено по вине супермаркета (автомобиль был поврежден тележкой, снегоуборочной техникой), то Вы можете предъявить требование о возмещении вреда, если конечно сможете это доказать.