Добрый вечер, Маргарита.
В порядке ст.67 ТК РФ трудовой договор в письменном виде должен быть заключен не позднее 3-х рабочих дней с момента допуска работника к непосредственным обязанностям. Если договора в письменном виде по сей день нет, то при наличии обнаружения сего факта контролирующими органами либо жалобы работодателю грозит штраф в соответствии со ст.5.27 КоАП РФ.
Что касается увольнения. то пособие выплачивается только при сокращении на основании ст.178 ТК РФ, которому предшествует уведомление за два месяца и процедура оговоренная в ст.180 ТК РФ.
А вот пребывание дома вместе исполнения обязанностей будет зависеть от того каким образом все оформлено документально. если нет работы и работника отправили домой в бесплатный отпуск с целью избежания введения простоя это нарушение. Р
Я бы рекомендовала написать жалобу в Инспекцию труда, изложив все обстоятельства трудовой деятельности, таким образом через несколько недель и договор будет заключен и простой введен либо инициирована процедура сокращения с выплатой соответствующего пособия.