Здравствуйте. Не сможете оформить детские на второго ребенка, поскольку ребенок не зарегистрирован по Вашему месту регистрации.
В соответствии с ч.1 ст.40 Закона Воронежской области от 14.11.2008 № 103-ОЗ «О социальной поддержке отдельных категорий граждан в Воронежской области»
Право на пособие на ребенка имеет один из родителей (усыновителей, опекунов, попечителей) на каждого рожденного, усыновленного, принятого
под опеку (попечительство) совместно проживающего с ним ребенка до
достижения им возраста шестнадцати лет (на учащегося общеобразовательной
организации — до окончания им обучения, но не более чем до достижения
им возраста восемнадцати лет) в семьях со среднедушевым доходом, размер
которого не превышает величину прожиточного минимума в Воронежской
области, установленную в соответствии с Законом Воронежской области «О прожиточном минимуме в Воронежской области».
Под совместным проживанием закон подразумевает совместную регистрацию, поэтому все верно Вам отказали.