Расчет при увольнении при наличии подписанного гарантийного письма

Да именно так.Сроки расчета при увольнении установлены трудовым законодательством и не могут быть уменьшены соглашением сторон

При прекращении трудового договора выплата всех сумм, причитающихся работнику от работодателя, производится в день увольнения работника. Если работник в день увольнения не работал, то соответствующие суммы должны быть выплачены не позднее следующего дня после предъявления уволенным работником требования о расчете.
В случае спора о размерах сумм, причитающихся работнику при увольнении, работодатель обязан в указанный в настоящей статье срок выплатить не оспариваемую им сумму.

Антон, обязаны рассчитать и выдать трудовую книжку в последний рабочий день.

ТК РФ, Статья 140. Сроки расчета при увольнении
При прекращении трудового договора выплата всех сумм, причитающихся работнику от работодателя, производится в день увольнения работника. Если работник в день увольнения не работал, то соответствующие суммы должны быть выплачены не позднее следующего дня после предъявления уволенным работником требования о расчете. В случае спора о размерах сумм, причитающихся работнику при увольнении, работодатель обязан в указанный в настоящей статье срок выплатить не оспариваемую им сумму.

Если работодатель нарушит срок выплаты, то он обязан будет оплатить и штрафные санкции:

ТК РФ, Статья 236. Материальная ответственность работодателя за задержку выплаты заработной платы и других выплат, причитающихся работнику
При нарушении работодателем установленного срока соответственно выплаты заработной платы, оплаты отпуска, выплат при увольнении и (или) других выплат, причитающихся работнику, работодатель обязан выплатить их с уплатой процентов (денежной компенсации) в размере не ниже одной сто пятидесятой действующей в это время ключевой ставки Центрального банка Российской Федерации от не выплаченных в срок сумм за каждый день задержки начиная со следующего дня после установленного срока выплаты по день фактического расчета включительно.

Гарантийное письмо, по общему правилу, пишется тем лицом, которое выставляет и принимает на себя какие-либо гарантии, то есть это директор должен был сделать, поскольку гарантировал выплату ЗП до Нового года. В общем, началось с того, что должно быть все наоборот, так оно и продолжается с Вашим директором.

Вы сами прекрасно знаете свои права про день увольнения, теперь — только суд о взыскании ЗП, процентов и компенсации морального вреда. Можно еще заявить в Трудовую инспекцию со ссылкой на ст. 5.27 КоАП РФ. Если закапризничает.