Должен ли полностью оплачиваться 12-часовой рабочий день, с учетом обеденного перерыва?

Добрый день! В силу ст. 72 ТК РФ

изменение определенных сторонами условий трудового договора, в том числе перевод на другую работу, допускается только по соглашению сторон трудового договора, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом. Соглашение об изменении определенных сторонами условий трудового договора заключается в письменной форме.

Таким образом, произвольное изменение трудового договора недопустимо. Однако, вопрос по оплате обеденного перерыва должен быть указан в Вашем трудовом договоре/коллективном договоре.

Если там прописано, что обед не оплачивается — формально работодатель прав, однако, в этом случае Вы имеете право закрыться на обед, наплевав на клиентов