Может ли быть председателем ТСЖ не являющийся собственником в данном ТСЖ?

В ТСЖ однозначно не может, а в кооперативе запрета нет.

Основание ЖК РФ:

Статья 143. Членство в товариществе собственников жилья

1. Членство в товариществе собственников жилья возникаету собственника помещения в многоквартирном доме на основании заявления о вступлении в товарищество собственников жилья.
2. Если в многоквартирном доме создано товарищество собственников жилья, лица, приобретающие помещения в этом доме, вправе стать членами товарищества после возникновения у них права собственности на помещения.
3. Членство в товариществе собственников жилья прекращается с момента подачи заявления о выходе из членов товарищества или с момента прекращения права собственности члена товарищества на помещение в многоквартирном доме.

Статья 147. Правление товарищества собственников жилья

1. Руководство деятельностью товарищества собственников жилья осуществляется правлением товарищества. Правление товарищества собственников жилья вправе принимать решения по всем вопросам деятельности товарищества, за исключением вопросов, отнесенных к исключительной компетенции общего собрания собственников помещений в многоквартирном доме и компетенции общего собрания членов товарищества собственников жилья.
2. Правление товарищества собственников жилья избирается из числа членов товарищества общим собранием членов товарищества на срок, установленный уставом товарищества, но не более чем на два года.
3. Правление товарищества собственников жилья избирает из своего состава председателя товарищества, если избрание председателя товарищества не отнесено к компетенции общего собрания членов товарищества уставом товарищества.

Статья 110. Жилищные и жилищно-строительные кооперативы

1. Жилищным или жилищно-строительным кооперативом признается добровольное объединение граждан и в установленных настоящим Кодексом, другими федеральными законами случаях юридических лиц на основе членства в целях удовлетворения потребностей граждан в жилье, а также управления многоквартирным домом.
1.1. Настоящим Кодексом определяется правовое положение жилищных и жилищно-строительных кооперативов, в том числе особенности их гражданско-правового положения (пункт 4 статьи 49 Гражданского кодекса Российской Федерации).
2. Члены жилищного кооператива своими средствами участвуют в приобретении, реконструкции и последующем содержании многоквартирного дома. При проведении реконструкции многоквартирного дома жилищный кооператив в соответствии с законодательством о градостроительной деятельности выступает в качестве застройщика и обеспечивает на принадлежащем ему земельном участке реконструкцию этого дома в соответствии с выданным такому кооперативу разрешением на строительство.