Что делать, директор не хочет оплачивать ОСАГО на служебном автомобиле?

Александр, здравствуйте.

Обязать директора Вы конечно не можете, но и относительно своей ответственности Вы несколько заблуждаетесь.
Насколько правильно понимаю, Вы официально трудоустроены. В таком случае, согласно ст. 1068 ГК РФ

1. Юридическое лицо либо гражданин возмещает вред, причиненный его работником при исполнении трудовых (служебных, должностных) обязанностей.
Применительно к правилам, предусмотренным настоящей главой, работниками признаются граждане, выполняющие работу на основании трудового договора (контракта), а также граждане, выполняющие работу по гражданско-правовому договору, если при этом они действовали или должны были действовать по заданию соответствующего юридического лица или гражданина и под его контролем за безопасным ведением работ.

Таким образом, ответственность за причинение вреда на служебном автомобиле несет за Вас работодатель.

Правда, тут стоит учесть один нюанс, заключен ли с Вами договор о полной материальной ответственности или нет?