Может ли договор по найму жилья быть написан вручную, имеет ли он юридическую силу?

Здравствуйте!

да, договор составленный вручную будет иметь юридическую силу и его не надо заверять нотариально (хотя наличие удостоверения упростит постановку на учет).

да, поставить на учет по месту пребывания Вас обязаны

25. Для регистрации по месту пребывания:
25.1.Гражданин представляет лицу, ответственному за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, а при его отсутствии -собственнику жилого помещения:
заявление о регистрации по месту пребывания по форме N 1 (приложение N 2 к Регламенту), подписанное гражданином и собственником (нанимателем) жилого помещения, указанного в заявлении. Подписи заявителя и собственника (нанимателя) жилого помещения заверяются лицом, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов;
документ, удостоверяющий личность (предъявляется заявителем в целях идентификации получателя государственной услуги);
документ, являющийся основанием для временного проживания в жилом помещении (договор найма (поднайма), социального найма жилого помещения, свидетельство о государственной регистрации права на жилое помещение или заявление лица, предоставившего гражданину жилое помещение для временного проживания). Для регистрации достаточно представления одного из перечисленных документов, за исключением случая, предусмотренного пунктом 29 Регламента.
При предъявлении договора, заверенного нотариально, данный документ лицом, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, не заверяется, а подпись собственника (нанимателя) жилого помещения в заявлении не проставляется. Если предъявляется договор в простой письменной форме, подписи собственника (нанимателя) жилого помещения и заявителя заверяются лицом, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов.

Проживающие совместно с нанимателем жилого помещения совершеннолетние пользователи свое согласие на временное проживание гражданина выражают в письменной форме.
25.2. При направлении в орган регистрационного учета почтовым отправлением заявления о регистрации по месту пребывания по форме N 1ПР (приложение N 2 к Регламенту), подписанного заявителем и собственником (нанимателем) жилого помещения, гражданин также представляет копию документа, являющегося основанием для временного проживания гражданина в указанном жилом помещении, заверенную нотариально либо лицом, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов.
(в ред. Приказа ФМС России от 19.01.2015 N 6)
25.3. При представлении в орган регистрационного учета заявления о регистрации по месту пребывания в форме электронного документа через Единый портал заявитель одновременно подает копии документа, являющегося основанием для временного проживания в заявленном им жилом помещении в электронной форме, за исключением случая, предусмотренного пунктом 29 Регламента.

да, старое свидетельство действительно, но лучше видеть свежую выписку из ЕГРП и проверить доверенность на действительность, т.е. на отсутствие ее в реестре отмененных.