Возможна прописка через суд, без согласия родственников?

Прописка через суд, без согласия родственников в данной ситуации невозможна. У Вас нет прав на указанное жилое помещение и суд Вам откажет в иске.

При этом жилищным законодательством предусмотрено, что

Малоимущим гражданам, признанным нуждающимися в жилых помещениях, предоставляемых по договорам социального найма, жилые помещения муниципального жилищного фонда по договорам социального найма предоставляются в установленном настоящим Кодексом порядке. Малоимущими гражданами в целях настоящего Кодекса являются граждане, если они признаны таковыми органом местного самоуправления в порядке, установленном законом соответствующего субъекта Российской Федерации, с учетом дохода, приходящегося на каждого члена семьи, и стоимости имущества, находящегося в собственности членов семьи и подлежащего налогообложению.

Таким образом у Вас есть право обратиться в орган местного самоуправления с заявлении о постановке Вашей семьи на учет в качестве нуждающихся в улучшении жилищных условий.