Продлевается ли отпуск на время госпитализации сотрудника по уходу за ребенком?

Не не продлевается, разъяснения в письме Роструда от 1 июня 2012 г. N ПГ/4629-6-1.

«В Правовом управлении Роструда рассмотрено обращение по вопросу применения ст. 124 Трудового кодекса Российской Федерации. Сообщаем следующее.
В соответствии со ст. 124 Трудового кодекса Российской Федерации ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен в случае временной нетрудоспособности работника.
Из приведенной выше нормы следует, что обязанность продлевать отпуск на число календарных дней нетрудоспособности, в случае если временная нетрудоспособность наступила в период пребывания в ежегодном оплачиваемом отпуске, возникает у работодателя только в случае временной нетрудоспособности самого работника.
Таким образом, заболевание ребенка, другого члена семьи, в соответствии со ст. 124 Трудового кодекса Российской Федерации, не является автоматическим основанием для продления ежегодного оплачиваемого отпуска, несмотря на наличие выданного работнику листка нетрудоспособности.
В соответствии с абз. 4 ч. 1 ст. 124 Кодекса ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен в других случаях, предусмотренных трудовым законодательством, локальными нормативными актами.
Таким образом, такой случай, как болезнь члена семьи, может быть предусмотрен в локальном нормативном акте, принятом работодателем в установленном порядке, в качестве основания для продления ежегодного оплачиваемого отпуска.»

Статья 124. Продление или перенесение ежегодного оплачиваемого отпуска
Ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен или перенесен на другой срок, определяемый работодателем с учетом пожеланий работника, в случаях:
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
временной нетрудоспособности работника;

Если бы Вы сами болели, то тогда отпуск продлевался, а если болеет ребенок, то тогда нужно оформлять больничный лист со дня, следующего за последним днем отпуска.