Мы уже третий раз перезаключаем контракт, я хочу работать по трудовому договору

Добрый день, видимо вы имеете ввиду срочный трудовой договор, странно, что у вас нет записи в трудовой, так как заключение срочного договора не несет никаких ограничений в этой части. По сути, это официальное трудоустройство, но с определенным периодом действия. Однако, такой договор может быть заключен в определенных законодательством случаях, которые оговорены в ст. 59 ТК РФ.

Срочный трудовой договор заключается:

на время исполнения обязанностей отсутствующего работника, за которым в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором,
соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором сохраняется место работы;
на время выполнения временных (до двух месяцев) работ;
для выполнения сезонных работ, когда в силу природных условий работа может производиться только в течение определенного периода (сезона);
с лицами, направляемыми на работу за границу;
для проведения работ, выходящих за рамки обычной деятельности работодателя (реконструкция, монтажные, пусконаладочные и другие работы), а также работ, связанных с заведомо временным (до одного года) расширением производства или объема оказываемых услуг;
с лицами, поступающими на работу в организации, созданные на заведомо определенный период или для выполнения заведомо определенной работы;
с лицами, принимаемыми для выполнения заведомо определенной работы в случаях, когда ее завершение не может быть определено конкретной датой;
для выполнения работ, непосредственно связанных с практикой, профессиональным обучением или дополнительным профессиональным образованием в форме стажировки;
в случаях избрания на определенный срок в состав выборного органа или на выборную должность на оплачиваемую работу, а также поступления на работу, связанную с непосредственным обеспечением деятельности членов избираемых органов или должностных лиц в органах государственной власти и органах местного самоуправления, в политических партиях и других общественных объединениях;
с лицами, направленными органами службы занятости населения на работы временного характера и общественные работы;
с гражданами, направленными для прохождения альтернативной гражданской службы;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом или иными федеральными законами.
По соглашению сторон срочный трудовой договор может заключаться:
с лицами, поступающими на работу к работодателям — субъектам малого предпринимательства (включая индивидуальных предпринимателей), численность работников которых не превышает 35 человек (в сфере розничной торговли и бытового обслуживания — 20 человек);
с поступающими на работу пенсионерами по возрасту, а также с лицами, которым по состоянию здоровья в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, разрешена работа исключительно временного характера;
с лицами, поступающими на работу в организации, расположенные в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях, если это связано с переездом к месту работы;
для проведения неотложных работ по предотвращению катастроф, аварий, несчастных случаев, эпидемий, эпизоотий, а также для устранения последствий указанных и других чрезвычайных обстоятельств;
с лицами, избранными по конкурсу на замещение соответствующей должности, проведенному в порядке, установленном трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права;
с творческими работниками средств массовой информации, организаций кинематографии, театров, театральных и концертных организаций, цирков и иными лицами, участвующими в создании и (или) исполнении (экспонировании) произведений, в соответствии с перечнями работ, профессий, должностей этих работников, утверждаемыми Правительством Российской Федерации с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений;
с руководителями, заместителями руководителей и главными бухгалтерами организаций, независимо от их организационно-правовых форм и форм собственности;
с лицами, получающими образование по очной форме обучения;
с членами экипажей морских судов, судов внутреннего плавания и судов смешанного (река — море) плавания, зарегистрированных в Российском международном реестре судов;
с лицами, поступающими на работу по совместительству;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом или иными федеральными законами.

Если ни один из вариантов не относится к вашей ситуации, в судебном порядке можно добиться преобразования срочного в бессрочный договор.

Всего доброго.