Могут ли мне отказать в оплате больничного, если не была вовремя поставлена печать?

1. Да, конечно, идите в больницу и ставьте печать, потом несите работодателю, ничего не изменится. Он также должен рассчитать Вас.
Вас просто учат правильно оформлять документы.

Печати и штампы
Количество печатей. На лицевой стороне листка нетрудоспособности проставляются:
— оттиск штампа с наименованием и адресом медучреждения. Эти реквизиты также могут быть написаны вручную или напечатаны. Наименование и адрес лечебного учреждения или его штамп должны быть расположены в верхней части больничного листа в строке с аналогичным названием (п. 60 Порядка выдачи больничных листов);
— два или более оттиска печати медицинской организации, предназначенных для больничных листов. Их местоположение — в правом верхнем и правом нижнем углах бланка больничного (п. 75 Порядка выдачи больничных листов). Печати ставятся при выписке гражданина или продлении листка нетрудоспособности. Оттиск печати может быть треугольным или круглым — единой формы не установлено.