Могу ли взять отпуск за свой счёт по уходу за родственником?

Дрбрый вечер! Несколько вариантов:

Либо нужно соглашение между Вами и работодателем. (отпуск без сохранения зар.платы)

В соответствии со ст. 128 ТК РФ

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработнойплаты:
участникам Великой Отечественной войны — до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) — до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, органов по контролю за оборотом наркотических средств и психотропных веществ, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), — до 14 календарных дней в году;
(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 157-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
работающим инвалидам — до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников — до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.

Таким образом, Вам нужно договариваться.

Либо ищите альтернативу.

Например, часть отпуска, очередного, попробовать взять, что тоже, возможно, не найдет одобрения со стороны работодателя.

Либо попробуйте оформить больничный по уходу за больным членом семьи (родители могут являться таковыми; при условии совместного проживания)

В соответствии с пп. 6 п.5 ст. 6 ФЗ ОБ ОБЯЗАТЕЛЬНОМ СОЦИАЛЬНОМ СТРАХОВАНИИ НА СЛУЧАЙ ВРЕМЕННОЙ НЕТРУДОСПОСОБНОСТИ И В СВЯЗИ С МАТЕРИНСТВОМ

— в остальных случаях ухода за больным членом семьи при лечении в амбулаторных условиях — не более чем за 7 календарных дней по каждому случаю заболевания, но не более чем за 30 календарных дней в календарном году по всем случаям ухода за этим членом семьи.