Нужна ли счет-фактура для ООО на УСН?

Нет. Не нужно. ООО на упрощенке освобождается от всех обазанностей, связанных с НДС, в том числе от обязанности выставлять счета-фактуры.

Более того, если ООО выставит счет-фактуру, то будет обязано уплатить НДС, указанный в ней.

Статья 346.11. Общие положения
2. Применение упрощенной системы налогообложения организациями предусматривает их освобождение от обязанности по уплате налога на прибыль организаций (за исключением налога, уплачиваемого с доходов, облагаемых по налоговым ставкам, предусмотренным пунктами 1.6, 3 и 4 статьи 284 настоящего Кодекса), налога на имущество организаций (за исключением налога, уплачиваемого в отношении объектов недвижимого имущества, налоговая база по которым определяется как их кадастровая стоимость в соответствии с настоящим Кодексом). Организации, применяющие упрощенную систему налогообложения, не признаются налогоплательщиками налога на добавленную стоимость, за исключением налога на добавленную стоимость, подлежащего уплате в соответствии с настоящим Кодексом при ввозе товаров на территорию Российской Федерации и иные территории, находящиеся под ее юрисдикцией, а также налога на добавленную стоимость, уплачиваемого в соответствии со статьей 174.1 настоящего Кодекса.