На каком основании старший брат может быть законным представителем младшего?

В соответствии с ГК РФ существует понятие законного представителя

Статья 52. Законные представители
1. Права, свободы и законные интересы недееспособных или не обладающих полной дееспособностью граждан защищают в суде их родители, усыновители, опекуны, попечители или иные лица, которым это право предоставлено федеральным законом.
2. По делу, в котором должен участвовать гражданин, признанный в установленном порядке безвестно отсутствующим, в качестве его представителя выступает лицо, которому передано в доверительное управление имущество безвестно отсутствующего.
3. Законные представители совершают от имени представляемых ими лиц все процессуальные действия, право совершения которых принадлежит представляемым, с ограничениями, предусмотренными законом.
Законные представители могут поручить ведение дела в суде другому лицу, избранному ими в качестве представителя.

Как видно к законным представителям не относятся братья и сестры. Совершеннолетний брат имеет право представлять интересы своей несовершеннолетней сестры на основании доверенности.