Кто может претендовать на квартиру, приобретенную в браке?

Здравствуйте, Лидия!

В силу ч. 4 ст. 60 СК и положений ГК РФ:

Ребенок не имеет права собственности на имущество родителей, родители не имеют права собственности на имущество ребенка. Дети и родители, проживающие совместно, могут владеть и пользоваться имуществом друг друга по взаимному согласию.

Могу ли я квартиру записать на свою дочь, как собственник?

Вы вправе так сделать, если Ваш супруг согласится. Но Вы должны понимать, что собственником будет только Ваша дочь и просто так продать квартиру в будущем у Вас не получится, лишь с согласия органа опеки при предоставлении иного жилья несовершеннолетнему ребенка. А по достижении совершеннолетия дочь сама будет распоряжаться квартирой.

И может ли В будущем дочь у мужа претендовать на часть собственности?

Может, только при вступлении в права наследования, если у Вашего супруга будет имущество.

Как мне лучше сделась? Посоветуйте, пожалуйста.

Оформляйте в долевую собственность как Вашу, так и Вашего супруга, это честно.

Может мне квартиру оформить на свою мать, а она В свою очередь оформить дарение на меня? Спасибо заранее за ответ.

Можете и так, однако, в случае развода при соблюдении сроков исковой давности можно оспорить сделку.