Да, это нарушение. Вам делали запись в трудовую книжку? А как же приказ о Вашем зачислении на работу? Все это неотъемлемые составляющие официального трудоустройства.
Если Вам была сделана запись, был подписан приказ, значит и трудовой договор должен быть подписан, так как приказ составляется на основании трудового договора. Тем более трудовой договор должен был быть подписан не позднее 3-х рабочий дней с начала работы.
К тому же он определяет Ваши права и обязанности, размер заработной платы, дает Вам гарантии и компенсации и т.д.
Если Ваши работодатели отказываются отдать Вам Ваш экземпляр, подписанный начальником, а в трудовой книжке есть запись о Вашем трудоустройстве, Вы можете смело подавать жалобу в трудовую инспекцию с полной уверенностью, что ее примут во внимание.
Если же нет ни записи, ни приказа, ни трудового договора, значит, все это время Вы работали неофициально и предъявить какие-либо претензии Вашему начальству будет очень сложно.