Как квалифицировать договор

Тимур, организация может заключать и трудовые, и гражданско-правовые договоры с физическими лицами. для того, чтобы понять, можно ли переквалифицировать договор в трудовой, надо знать суть отношений и смотреть договор. Если действительно установлена фиксированная плата за услуги без конкретизации услуг, да еще и с фиксированным рабочим временем и подчинением правилам трудового распорядка, то вероятность такая очень велика.

Что касается налогов, то НДФЛ Вы действительно должны удерживать и перечислять, а вот насчет взносов неправильно — в ПФР, ФФОМС взносы уплачивать надо, в ФСС не надо.

Статья 19.1. Трудового кодекса РФ

Трудовые отношения, возникающие на основании трудового договора в результате признания отношений, связанных с использованием личного труда и возникших на основании гражданско-правового договора, трудовыми отношениями

Признание отношений, возникших на основании гражданско-правового договора, трудовыми отношениями может осуществляться:
лицом, использующим личный труд и являющимся заказчиком по указанному договору, на основании письменного заявления физического лица, являющегося исполнителем по указанному договору, и (или) не обжалованного в суд в установленном порядке предписания государственного инспектора труда об устранении нарушения части второй статьи 15 настоящего Кодекса;
судом в случае, если физическое лицо, являющееся исполнителем по указанному договору, обратилось непосредственно в суд, или по материалам (документам), направленным государственной инспекцией труда, иными органами и лицами, обладающими необходимыми для этого полномочиями в соответствии с федеральными законами.
В случае прекращения отношений, связанных с использованием личного труда и возникших на основании гражданско-правового договора, признание этих отношений трудовыми отношениями осуществляется судом. Физическое лицо, являвшееся исполнителем по указанному договору, вправе обратиться в суд за признанием этих отношений трудовыми отношениями в порядке и в сроки, которые предусмотрены для рассмотрения индивидуальных трудовых споров.
Неустранимые сомнения при рассмотрении судом споров о признании отношений, возникших на основании гражданско-правового договора, трудовыми отношениями толкуются в пользу наличия трудовых отношений.

Заключение гражданско-правовых договоров, фактически регулирующих трудовые отношения между работником и работодателем, не допускается (часть 2 статьи 15 Трудового кодекса Российской Федерации).

В целом физическое лицо вправе работать и по договору гражданско-правового характера. Но исходя из того что описали Вы договор явно имеет все возможности быть признан гражданско-правовым.