Юля, здравствуйте,
Регистрация (прописка) не влияет на наследственные отношения.
Ваш супруг является наследником первой очереди.
Гражданский кодекс РФ:
Статья 1142. Наследники первой очереди
1. Наследниками первой очереди по закону являются дети, супруг и родители наследодателя.
Даже если было составлено завещание не в пользу Вашего супруга, то в соответствии со ст.1149, Вашему супругу полагается обязательная доля в наследстве, т.к. он нетрудоспособный.
Статья 1149. Право на обязательную долю в наследстве
1. Несовершеннолетние или нетрудоспособные дети наследодателя, его нетрудоспособные супруг и родители, а также нетрудоспособные иждивенцы наследодателя, подлежащие призванию к наследованию на основании пунктов 1 и 2 статьи 1148 настоящего Кодекса, наследуют независимо от содержания завещания не менее половины доли, которая причиталась бы каждому из них при наследовании по закону (обязательная доля).
В этом случае можно претендовать на 1/2 квартиры.
Необходимо учитывать, что принимая наследство, Вы принимаете и обязательства (долги) наследодателя в размере стоимости полученного наследства.
Статья 1175. Ответственность наследников по долгам наследодателя
1. Наследники, принявшие наследство, отвечают по долгам наследодателя солидарно (статья 323).
Каждый из наследников отвечает по долгам наследодателя в пределах стоимости перешедшего к нему наследственного имущества.
Поэтому, принимать или не принимать наследство — это решать Вам, с учетом всех обстоятельств.