Мария, здравствуйте! Конечно, эта организация поступила неправомерно: фактически, у них с Вами возникли трудовые отношения, но они не оформили трудовой договор, что нарушает ст. 67 ТК РФ:
При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.
Но на практике доказать фактические трудовые отношения довольно трудно. Хорошо, если Вы знаете точное наименование этой организации и их адрес — в этом случае можно написать жалобу на их неправомерные действия в районную прокуратуру и в Государственную инспекцию труда (контакты ГИТ Вашего региона можно найти в Интернете). Причем в жалобе укажите, что Вы были фактически допущены к работе и укажите время, которое Вы отработали.
Также возможно обращение в суд — с заявлением о признании факта трудовых отношений и взыскании задолженности по заработной плате, но для этого Вам нужно собрать доказательства того, что Вы работали в этой организации (это могут быть показания свидетелей, письменные графики, пропуск на работу, другие доказательства).
Удачи Вам!