Здравствуйте, Татьяна!
То, что Вы проработали хотя бы один день после окончания срочного договора, то Ваши отношения переходят в бессрочные. При этом приказ задним числом о вашем увольнение сделать нельзя, тем более в государственном учреждении.
Статья 58. Срок трудового договора
[Трудовой кодекс РФ] [Глава 10] [Статья 58]
Трудовые договоры могут заключаться:
1) на неопределенный срок;
2) на определенный срок не более пяти лет (срочный трудовой договор), если иной срок не установлен настоящим Кодексом и иными федеральными законами.
Срочный трудовой договор заключается, когда трудовые отношения не могут быть установлены на неопределенный срок с учетом характера предстоящей работы или условий ее выполнения, а именно в случаях, предусмотренных частью первой статьи 59 настоящего Кодекса. В случаях, предусмотренных частью второй статьи 59 настоящего Кодекса, срочный трудовой договор может заключаться по соглашению сторон трудового договора без учета характера предстоящей работы и условий ее выполнения.
Если в трудовом договоре не оговорен срок его действия, то договор считается заключенным на неопределенный срок.
В случае, когда ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу после истечения срока действия трудового договора, условие о срочном характере трудового договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок.
И вас теперь просто так не уволить, поэтому если хотите работать, то ничего не пишите. В крайнем случае Вас могут сократить уведомив об этом за два месяца, при этом Вам предоставят выходное пособие в размере 2 окладов.
Удачи Вам!