Можно ли мне прописаться к ней
Да, Вы можете прописаться с согласия нанимателя помещения, т.е. Вашей бабушки.
Администрация сказала, что приватизировать можно после 5 лет проживания в ней
Не верьте тому что говорит администрация, доверять (да и то не всегда) можно письменному документу.
Нормы о проживании в течении 5 лет перед тем как приватизировать помещение (квартиру) не встречал.
Если есть возможность приватизировать, то лучше начать заниматься этим уже сейчас (оформлять технический паспорт, план БТИ и т.д.), скорее всего после 01.03.2015 г. бесплатная приватизация будет невозможно, ее уже и так неоднократно продлевали.
Спасибо. А срок в 5 лет, после которого можно приватизировать квартиру сократить нельзя, может быть оформить опекунство, т.к. бабушке 87 лет