Анастасия Михайловна, здравствуйте!
Если в штатном расписании организации одна должность секретаря и нет возможности ввести еще одну единицу, тогда надо ждать, но это гипотетическая ситуация.
Согласно ст. 61 Трудового кодекса РФ трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, или со дня, указанного в самом договоре, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.
Работник обязан приступить к исполнению трудовых обязанностей со дня, определенного трудовым договором.
Если в трудовом договоре не определен день начала работы, то работник должен приступить к работе на следующий рабочий день после вступления договора в силу.
Поэтому если есть сложности с введением еще одной штатной единицы (еще раз повторюсь, что это редко на практике), никто не мешает прописать в договоре, который Вы заключите с работодателем 10 числа, что приступить к исполнению своих обязанностей Вы должны, например, с 13 числа.
те и на работу я выйду только 13 числа, так? В штатном расписании организации нет возможности ввести еще одну единицу секретаря.
Если действительно имеются такие сложности и Вы хотите «подстраховаться», укажите к трудовом договоре именно ту дату, с которой Вы должны приступить к исполнению трудовых обязанностей (если больничный лист будет закрыт 12 числа и этот день будет последним рабочим днем бывшего секретаря, то можно указать 13-е число).
А можно прийти на работу на следующий день после увольнения бывшего сотрудника и оформить все документы этой датой.