Здравствуйте, Александра! Если детям не исполнилось 14 лет, игра в снежки имела место на территории школы, по общему правилу, ответственность понесёт образовательное учреждение (пункт 3 статьи 1073 Гражданского кодекса России).
Если инцидент имел место вне школы, детям не исполнилось 14 лет, ответственность за вред здоровью другого ребёнка несут родители ребёнка, причинившего вред.
Если инцидент имел место вне школы, разрешить ситуацию Вы можете либо путём достижения письменного соглашения о компенсации с родителями ребёнка, либо посредством отрицания в суде факта причастности Вашего ребёнка к инциденту (что не так просто доказать, если не имеется видеозаписи).