Здравствуйте Анастасия!
Если отцовство не установлено, то фамилия ребенка записывается по фамилии мамы. Если мама и папа не состоят в браке, то лучше подать совместное заявление об установлении отцовства. В случае установления отцовства родители могут дать фамилию мамы или папы по своему желанию, даже если они не состоят в браке. Если отцовство не признано при рождении ребенка, сначала дают фамилию мамы, а потом после признания отцовства и при желании меняют на фамилию папы, что требует замены документов и некоторого времени.
Если родители отдельно прописаны, можно регистрировать по месту жительства одного из родителей, при этом нужно обязательно написать заявление, подписать его обоим родителям согласием на данный вариант места жительства.
То есть в Вашем случае ребенка нужно будет прописать к отцу и прописка у него будет московская.