Здравствуйте.
Отказ ЗАГСа, вероятно, законен: повторное свидетельство о рождении совершеннолетнего сына матери не выдаётся. По п. 2 ст. 9 Федерального закона от 15.11.1997 № 143-ФЗ «Об актах гражданского состояния» повторное свидетельство вправе получить сам гражданин, в отношении которого составлена запись; родители — только в отношении несовершеннолетнего ребёнка.
Что делать матери:
Попросите в ЗАГСе выдать справку о рождении (форма № 25) — она подтверждает факт государственной регистрации рождения и родство матери с сыном. Для её получения нужны паспорт и заявление; госпошлина, как правило, не взимается.
Если нужен именно дубликат свидетельства, пусть сын оформит нотариальную доверенность на мать. Если сын находится в зоне СВО и не может обратиться к нотариусу, доверенность может удостоверить командир воинской части в порядке ст. 185.1 ГК РФ.
Если ЗАГС указал, что запись о рождении утрачена или отсутствует, мать вправе обратиться в районный суд с заявлением об установлении факта государственной регистрации рождения (гл. 28 ГПК РФ). После вступления решения в силу ЗАГС восстанавливает запись и выдаёт документ.
Если в отказе нет письменной мотивировки или он нарушает закон, подайте жалобу руководителю органа ЗАГС либо в прокуратуру; также доступно досудебное обжалование через Госуслуги.
Для подтверждения родства обычно достаточно справки о рождении, а не повторного свидетельства.