Есения, соболезную.
Специального договора или доверенности «на отдельное проживание» закон не предусматривает. До 18 лет вашим законным представителем остаётся мама, и решает, где вам жить, тоже она. Если она согласна, вы можете жить отдельно, а ответственность за вас по-прежнему несёт она.
Что можно оформить на практике:
1. Если вам уже 14, договор аренды или другие крупные сделки вы подписываете сами, но с письменного согласия мамы (ст. 26 ГК РФ). Мелкие бытовые покупки и свою зарплату или стипендию вы тратите сами.
2. Если вам 16 и вы работаете по трудовому договору, можно стать полностью дееспособной раньше срока, это называется эмансипация (ст. 27 ГК РФ). Её оформляет орган опеки с согласия родителей. Раз отца нет, нужно согласие мамы. Без её согласия эмансипацию решает суд.
И ещё одно. После смерти отца вам положена пенсия по потере кормильца до 18 лет, а если будете учиться очно, то до 23. Если её ещё не оформили, подайте заявление в Социальный фонд. И вы наследница отца первой очереди: наследство нужно принять в течение 6 месяцев со дня смерти, у нотариуса это делает мама вместе с вами.