Здравствуйте! Обратиться в суд можно и без подписанного трудового договора. По статье 67 ТК РФ договор считается заключённым, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя либо уполномоченного им представителя. Поэтому в Вашей ситуации нужно доказывать фактические трудовые отношения, период работы и согласованный размер оплаты, а не только требовать выдать деньги по доверенности.
По Вашему описанию имеются пропуск с должностью и названием компании, переписка и свидетели. Сохраните оригиналы переписки, копию пропуска, сведения о коллегах, даты и продолжительность работы, сообщения об оплате. Составьте расчёт: сколько должны были выплатить за каждый период, сколько фактически получили и какая осталась задолженность. Записи камер, если они сохранились у работодателя, можно просить истребовать через суд по статье 57 ГПК РФ: указать, у кого они находятся, за какие даты нужны, что подтверждают и почему самостоятельно получить их нельзя. Эти сведения могут быть доказательствами, но их достаточность оценит суд.
В иске можно соединить требования о признании отношений трудовыми и взыскании задолженности по зарплате, а также денежной компенсации за задержку по статье 236 ТК РФ. Если спорная зарплата своевременно не начислялась, право на соответствующие суммы должно быть установлено судом. Конкретную сумму взыскания по вопросу определить нельзя: размер договорённой оплаты и точные периоды не указаны. Отсутствие договора само по себе не означает, что взыскать ничего нельзя, однако положительный исход заранее обещать невозможно.
Переезд не закрывает доступ к суду: часть 6.3 статьи 29 ГПК РФ позволяет предъявить иск о восстановлении трудовых прав также по месту жительства истца. По статье 392 ТК РФ для требований о невыплате зарплаты установлен год со дня срока выплаты соответствующей суммы; для иных трудовых требований действует общий трёхмесячный срок со дня, когда работник узнал или должен был узнать о нарушении. Поэтому с обращением лучше не откладывать, особенно если требуется признание трудовых отношений.
Поскольку, по Вашему сообщению, Вам ещё нет 18 лет, мама может защищать Ваши интересы в суде как законный представитель: основание — статья 52 ГПК РФ, подтверждение родства — свидетельство о рождении. Это следует отличать от получения зарплаты у работодателя по доверенности: содержание Вашей доверенности в вопросе не приведено, поэтому нельзя утверждать, что она охватывает все необходимые действия или что отказ в выдаче денег именно ей неправомерен.
Работа более 12 часов в день, о которой Вы сообщили, не соответствует обычным ограничениям труда несовершеннолетних: статьи 92 и 94 ТК РФ устанавливают сокращённые неделю и смену, причём при совмещении с учёбой ограничения строже. Этот факт вместе с невыплатой можно изложить в обращении в государственную инспекцию труда. Сосредоточьтесь на сохранении доказательств, расчёте долга и своевременной подаче иска: отсутствие оформления не является основанием оставлять фактически выполненную работу без правовой защиты.