Здравствуйте, Владимир! Для заключения трудового договора 26 октября продлевать ничего не нужно: в этот день временное удостоверение ещё действует, а оно является документом, удостоверяющим личность. Его можно предъявить работодателю вместо паспорта (ст.65 ТК РФ требует предъявить паспорт или иной документ, удостоверяющий личность).
Продлить удостоверение придётся, если паспорт не будет готов к 28 октября. Временное удостоверение выдаётся на период оформления паспорта, и срок его действия продлевают, пока паспорт не выдан (Административный регламент МВД России по выдаче и замене паспорта, утв. приказом МВД России от 16.11.2020 №773). Обращаться нужно туда, где подавали документы, то есть в тот же МФЦ, с самим удостоверением. Лучше прийти 27–28 октября, не дожидаясь окончания срока, или заранее позвонить и узнать статус готовности паспорта. Возможно, он будет готов вовремя и продлевать не понадобится.
После получения нового паспорта сообщите работодателю его реквизиты и передайте копию в отдел кадров, чтобы данные в личном деле и в договоре были актуальными. Переоформлять сам трудовой договор из-за этого не нужно.