Здравствуйте, Кристина! Ваша ситуация решаемая. Отвечу по порядку.
1. Можно ли через суд, пока отец пропал без вести? Да. Иск об установлении отцовства (ст.49 СК РФ) подаётся к самому предполагаемому отцу. То, что он пропал без вести и не признан умершим, рассмотрению не мешает: суд направит извещение по последнему известному адресу (ст.119 ГПК РФ) и назначит ему адвоката как представителя (ст.50 ГПК РФ). Вам уже есть 18 лет, а для совершеннолетнего отцовство устанавливается только с его согласия (п.4 ст.48 СК РФ). Раз заявитель вы сами, это условие соблюдено.
Если отца позже признают умершим, порядок будет другой: заявление об установлении факта отцовства в особом производстве (ст.50 СК РФ, ст.264 ГПК РФ).
2. Куда обращаться? Лучше в российский суд, ведь документ потом нужен российским органам: ЗАГСу, военкомату, Минобороны. Иск подаётся в районный суд по последнему известному месту жительства отца в России (ч.1 ст.29 ГПК РФ). Ехать для этого необязательно: иск можно отправить почтой, подать электронно или через представителя по нотариальной доверенности. Представителем может быть, например, сестра отца или юрист в том же городе. Госпошлина за такой иск у физлица — 3 000 руб. (пп.3 п.1 ст.333.19 НК РФ).
3–4. Как сделать ДНК-экспертизу из Казахстана и можно ли с тётей? В суде экспертизу назначает сам суд (ст.79 ГПК РФ). Образец можно сдать, приехав в Россию в назначенное экспертное учреждение. Другой вариант — суд направит поручение в Казахстан по Минской конвенции о правовой помощи 1993 года, участниками которой являются и Россия, и Казахстан, но это дольше. Сравнение с родной сестрой отца (тётей) возможно, только результат будет вероятностным, а не 99,9%, как при прямом сравнении с отцом. Суд оценит его вместе с другими доказательствами. Отдельно уточните у тёти, через какое ведомство военкомат предлагает сдать ДНК. Обычно это делается для опознания через военно-следственные органы, и они подскажут, можно ли сдать образец через консульство России в Казахстане.
5. Какие документы готовить:
— ваше свидетельство о рождении и свидетельство о смерти мамы (между Россией и Казахстаном апостиль по Минской конвенции не нужен, но документы на казахском языке понадобится перевести на русский с нотариальным заверением);
— справку военкомата или воинской части о том, что отец пропал без вести;
— любые доказательства происхождения от него: фотографии, переписку, письма, переводы денег, показания свидетелей (тётя может дать показания в суде). Если вы родились после 1 марта 1996 года, суд принимает любые доказательства (ст.49 СК РФ). Если раньше, применяются более строгие правила прежнего Кодекса о браке и семье.
6. Бесплатная помощь. Можно обратиться в региональный филиал фонда «Защитники Отечества» (например, в Томске, где живёт тётя) и в центр бесплатной юридической помощи региона. Правда, до решения суда вы формально ещё не считаетесь членом семьи участника СВО, поэтому в помощи могут отказать.
С чего начать: соберите доказательства из п.5, оформите доверенность на представителя в России и подайте иск в суд по последнему месту жительства отца с ходатайством о назначении генетической экспертизы.