Здравствуйте, Елена.
Адвокат для участия в таком деле не обязателен: по статье 48 ГПК РФ вы вправе защищать свои интересы лично. Но помощь представителя может быть полезна, особенно если одновременно возникнет спор о порядке общения с ребёнком.
Предполагаемый отец вправе обратиться в суд за установлением отцовства по статье 49 СК РФ. Если происхождение ребёнка от него будет доказано, одно ваше несогласие не препятствует установлению отцовства. Совместное проживание родителей для этого не требуется, а фамилия ребёнка сама по себе вопрос не решает.
Суд исследует доказательства и может назначить генетическую экспертизу. Уклоняться от назначенной экспертизы ради отказа в иске не стоит: часть 3 статьи 79 ГПК РФ позволяет суду при определённых условиях признать соответствующий факт установленным или опровергнутым с учётом того, кто уклоняется и какое значение экспертиза имеет для этой стороны.
При этом установление отцовства не означает, что отец автоматически получает право забирать ребёнка на любые ночёвки. Порядок общения — отдельный вопрос. Родители могут согласовать его, а при споре он определяется судом с участием органа опеки, исходя из интересов ребёнка.
Если ночёвки сейчас вызывают обоснованные опасения, важно подготовить конкретные сведения: возраст ребёнка, состояние здоровья, привычный режим, условия проживания у отца и другие обстоятельства. Само нежелание вписывать отца в документы не заменяет эти доводы.
Можно продолжить общение и подробнее разобрать подготовку к суду и защиту интересов вашего сына.