Анастасия, сначала нужно определить, для какой именно цели отцу требуется подтверждение воспитания ребёнка без матери. Для трудовых гарантий, пособий, налогового вычета и вопросов военной службы применяются разные условия и документы. Нельзя обещать, что одно решение о лишении или ограничении Ваших прав даст ему все эти последствия.
Например, в сфере трудовых отношений п. 2 постановления Пленума ВС РФ от 28.01.2014 № 1 допускает отнесение отца к лицам, воспитывающим ребёнка без матери, и при живой матери — при перечисленных в разъяснении обстоятельствах её отсутствия в воспитании. Поэтому утверждение, что такой статус возможен только если матери нет физически, слишком категорично. Но это разъяснение нельзя автоматически переносить на каждое пособие или основание увольнения с военной службы. Официальный текст: vsrf.ru/files/14492/
В отношении Вашего последнего вопроса: «отказная» не создаёт обязанности суда лишить Вас прав. Требуются фактические основания по ст. 69 СК РФ; наличие соглашения о проживании с отцом само по себе таким основанием не является. Опека в судебном споре выясняет реальную семейную ситуацию, участие каждого родителя и интересы ребёнка, поэтому заявление об отказе не заменяет проверку обстоятельств. При обычном соглашении родителей о проживании судебная процедура лишения прав автоматически не начинается.
Не стоит ради справки искусственно создавать основания для лишения прав. Сначала запросите у органа или работодателя, которому нужен документ, точное название льготы и перечень принимаемых доказательств. После этого можно проверить, достаточны ли уже имеющиеся соглашение и подтверждения фактического ухода отца.
И уточню последствие лишения: возможность восстановления предусмотрена ст. 72 СК РФ, но требует решения суда и соблюдения установленных условий; гарантировать восстановление заранее нельзя. Вопрос содержания ребёнка остаётся и после лишения прав.
Это возможно например при лишении или ограничении Вас родительских прав