Ольга, добрый день!
Если в дополнительном соглашении прямо указано, что преподавание технологии устанавливается на один год, то по истечении согласованного срока обязанности работодателя продлевать это условие, как правило, нет. Тем более если педагог принят именно учителем ИЗО и общий объем его учебной нагрузки после окончания соглашения не уменьшился. Изменение условий трудового договора стороны вправе устанавливать письменным соглашением. ст. 72 ТК РФ
Общее правило требует при распределении нагрузки на новый учебный год сохранять ее объем и преемственность преподавания предметов. Но Верховный Суд РФ в решении от 24.06.2026 N АКПИ26-220 отдельно разъяснил: нагрузка, предоставленная на определенный срок, от этого бессрочной не становится.
Поэтому сейчас я бы прежде всего проверил формулировки основного трудового договора и допсоглашения. Если там четко зафиксированы предмет «технология» и срок его преподавания, работодателю имеет смысл письменно ответить педагогу, что соглашение прекратило действие в установленную дату, а основная учебная нагрузка сохранена.
Если пришлете текст допсоглашения без персональных данных, можно будет проверить, нет ли в нем формулировок, которые меняют этот вывод.