Ехать можете: в течение 90 календарных дней после дня рождения прежний паспорт сохраняет силу и с ним допустимы любые юридически значимые действия, а действительным он остаётся до дня оформления нового, но не более чем 90 календарных дней после достижения 20-летнего возраста (п. 4 Положения о паспорте гражданина РФ), и по соглашению между Россией и Беларусью граждане РФ посещают республику по общегражданскому паспорту. Решает здесь одно обстоятельство - в 90 дней должна укладываться и обратная дорога, потому что по истечении этого срока паспорт считается просроченным, и претензии появятся уже у перевозчика при регистрации и у белорусской стороны при проверке документов.
Не сдавайте паспорт на замену накануне поездки: на время оформления на руках остаётся только временное удостоверение личности, а оно для пересечения границы не годится, и поездка сорвётся без возможности что-либо исправить.
Точную дату, после которой паспорт станет недействительным, с запасом на обратный путь, и перечень документов для замены с реальными сроками оформления подготовлю в детальном разборе - будете точно знать, ехать сейчас или сначала менять паспорт.