По описанным вами обстоятельствам действия заведующей выглядят неправомерными, а увольнение вашей сестры по п. 6 ч. 1 ст. 81 ТК РФ, скорее всего, незаконно.
Во-первых, п. 6 ч. 1 ст. 81 ТК РФ допускает увольнение только за однократное грубое нарушение трудовых обязанностей, причем в приказе должен быть указан конкретный подпункт «а»–«д». Если в приказе просто указано «пункт 6» без подпункта — это уже дефект. Судя по ситуации, работодатель мог ссылаться на подпункт «д» — нарушение требований охраны труда, повлекшее тяжкие последствия либо заведомо создавшее реальную угрозу таких последствий. Однако лёгкий ушиб у ребёнка — это не тяжкое последствие, а чтобы доказать реальную угрозу именно тяжких последствий, работодателю нужны серьёзные доказательства. Сам по себе факт падения и лёгкого ушиба такую угрозу, как правило, не подтверждает.
Во-вторых, процедура увольнения нарушена. Увольнение по собственному желанию без письменного заявления работника невозможно. Если ваша сестра не писала заявление, то первая запись об увольнении по собственному желанию была фиктивной. Затем работодатель без нового приказа и без соблюдения процедуры изменил основание на статью — это незаконно. Работодатель не вправе в одностороннем порядке «переквалифицировать» уже состоявшееся увольнение после расчёта и внесения записи. Кроме того, при дисциплинарном увольнении должны соблюдаться требования ст. 193 ТК РФ: издание приказа, ознакомление с ним под подпись, соблюдение месячного срока со дня обнаружения проступка, учёт тяжести проступка и обстоятельств. То, что сестра не видела приказ и получила расчёт в тот же день, указывает на грубое нарушение порядка.
В-третьих, отказ помощника воспитателя помочь может учитываться при оценке вины, но не освобождает воспитателя от обязанности обеспечить безопасность детей. Однако это не превращает лёгкий ушиб в грубое нарушение, достаточное для увольнения по п. 6 ч. 1 ст. 81 ТК РФ.
Поэтому увольнение следует обжаловать. Вашей сестре нужно незамедлительно направить работодателю заказным письмом с описью вложения заявление о выдаче копий приказа об увольнении, сведений о трудовой деятельности, акта служебного расследования и приказа о его проведении. Сохраните все скриншоты с Госуслуг, выписки из Пенсионного фонда и банка — это доказательства. Затем следует подать жалобу в Государственную инспекцию труда и/или прокуратуру, а также иск в районный суд по месту нахождения работодателя или по своему месту жительства. Срок для обращения в суд по спору об увольнении — один месяц со дня вручения копии приказа или выдачи трудовой книжки (сведений о трудовой деятельности), но если сестру с приказом не ознакомили, срок фактически не начал течь. Тем не менее затягивать нельзя.
В суде можно требовать признания увольнения незаконным, восстановления на работе, взыскания среднего заработка за время вынужденного прогула и компенсации морального вреда. Если возвращаться на работу не хочется, можно просить изменить формулировку основания увольнения и взыскать положенные выплаты.
