Прекращение регистрационного учёта - это не наказание за шум и по статье 8.23 КоАП назначаться не может: там предусмотрены только предупреждение или штраф в размере 500 рублей (ст. 8.23 КоАП РФ). Снять машину с учёта ГИБДД вправе исключительно по закрытому перечню оснований из ч. 1 ст. 18 ФЗ № 283-ФЗ, и применительно к Вашей ситуации реально работает только одно - выявление в конструкции изменений, внесённых без разрешения и не соответствующих требованиям безопасности (замена выпускной системы, вырезанный катализатор, «прямоток»). Но такое основание должно быть зафиксировано документально: осмотр, инструментальный замер сертифицированным шумомером с протоколом, письменное решение регистрационного подразделения и уведомление владельца. Устная фраза начальника «с учёта снимем» без повторного замера и без документов юридической силы не имеет - это нарушение процедуры, и именно на нём строится позиция об оспаривании.
Второй момент, который здесь ключевой: если в конструкцию действительно вносились изменения, сам факт их устранения не отменяет уже зафиксированного нарушения, но и не даёт снимать с учёта «постфактум» без нового осмотра - машина на 16 июля была приведена в порядок, и это работает в Вашу пользу. Прямо в ст. 18 указано, что при признании действий по прекращению учёта незаконными или необоснованными учёт возобновляется по решению суда либо вышестоящего должностного лица - то есть путь возврата регистрации закон предусматривает. Риск в другом: сроки на обжалование постановления от 1 июля, скорее всего, уже прошли, а решение от 5 августа Вы, судя по всему, на руки не получали, и без него отсчёт сроков и предмет спора надо определять аккуратно, иначе жалобу вернут без рассмотрения. Отдельно оцените: пока учёт прекращён, эксплуатация автомобиля - это уже самостоятельное нарушение с изъятием номеров.
Готов детально разобрать Вашу ситуацию в рамках платной консультации: разложу пошагово, как добиться возобновления учёта - что именно и в какой последовательности запрашивать в подразделении ГИБДД в Казани, какие документы приложить к жалобе вышестоящему должностному лицу и к административному иску, в какие сроки это надо успеть, подберу судебную практику по незаконному прекращению учёта из-за шума и укажу типичные ошибки, из-за которых такие жалобы проигрывают.