Здравствуйте! Тут важно, где именно находится дерево: на муниципальной земле за пределами вашего участка или оно фактически растёт в границах вашего земельного участка.
Если дерево находится за забором, на территории общего пользования (земли населённых пунктов, обочина, придомовая территория, муниципальная земля), то собственником территории является, как правило, муниципальное образование, и именно оно должно обеспечивать содержание этой территории, в том числе устранение аварийных деревьев. Перекладывать обязанность на собственника соседнего участка только потому, что дерево находится в 6 метрах от забора, обычно нельзя.
Ссылка администрации на «6 метров» может быть связана с местными правилами благоустройства, но такие правила не могут автоматически возлагать обязанность спилить чужое дерево, если оно находится не на вашем участке.
Попросите администрацию дать письменный ответ с указанием:
на основании какой нормы закона именно вы обязаны спилить дерево;
кому принадлежит земельный участок, где растёт дерево;
проводилось ли обследование дерева и признано ли оно аварийным.
Зафиксируйте опасность:
сделайте фотографии;
желательно получить заключение специалиста (дендролога) либо акт обследования аварийного дерева.
Если дерево действительно аварийное и администрация бездействует, можно обжаловать бездействие:
в прокуратуру;
в суд в порядке административного искового производства (например, требовать обязать администрацию устранить угрозу).
При этом, если дерево упадёт и причинит ущерб вашему имуществу, важным будет доказать, что вы заранее уведомляли администрацию об угрозе, а она мер не приняла.