Определяющее значение имеет не сам номер СНИЛС, а название услуги, для которой его просят. СНИЛС — идентификатор ребёнка в государственных системах; одного номера недостаточно, чтобы изменить получателя алиментов или самостоятельно распорядиться выплатами. Но он может использоваться при подаче заявлений о пособиях, льготах и включении ребёнка в сведения о семье.
Поскольку отец не лишён родительских прав, само по себе получение им сведений о ребёнке не запрещено. Однако перед передачей попросите прислать точное название услуги на Госуслугах и экран, где требуется СНИЛС, без кодов подтверждения. Проверьте, кто указан заявителем, получателем выплаты и с кем ребёнок должен проживать по условиям этой услуги.
Не отправляйте фотографию всего документа: в ней больше персональных данных, чем нужно. Если цель подтверждается, достаточно передать номер. Какую именно услугу на Госуслугах он назвал? Без этого его объяснение проверить невозможно.