Здравствуйте! Школа действительно не вправе сама продлевать ребёнку срок временного пребывания. Обучение в общеобразовательной школе не является самостоятельным основанием для годовой регистрации: образовательное основание предусмотрено главным образом для очного обучения по программам высшего образования, а не для обычной школы. Поэтому прежнее ходатайство школы, вероятнее всего, принималось миграционным подразделением без достаточного законного основания.
Ваш супруг пока юридически является ребёнку отчимом, а не отцом или усыновителем. Следовательно, сын не считается его ребёнком для продления срока пребывания как член семьи гражданина РФ по пункту 10 статьи 5 Федерального закона № 115-ФЗ. Такое основание появится после усыновления либо оформления над ребёнком опеки супругом.
Однако усыновление — не единственный вариант. Как гражданину Республики Беларусь ребёнку можно оформить вид на жительство в России в упрощённом порядке, без предварительного получения РВП и без обязательного проживания в России в течение года. Заявление за несовершеннолетнего подаёт его законный представитель. Поэтому требование оформить ВНЖ обязательно «только вместе с Вами» нужно проверять по письменному отказу МВД: само по себе гражданство Беларуси является основанием для упрощённого постоянного проживания по Соглашению России и Беларуси от 24.01.2006.
Ещё один вариант возможен, если Вы сами будете официально работать в России: срок пребывания гражданина Беларуси продлевается на срок трудового договора, а вместе с ним — срок пребывания его несовершеннолетних детей, находящихся на иждивении. Но при Вашем постоянном проживании и работе в Беларуси это основание сейчас неприменимо.
Таким образом, наиболее практичный путь без усыновления — оформление сыну ВНЖ как гражданину Беларуси. Необходимо получить от миграционного подразделения письменный мотивированный отказ, а не устное разъяснение. Могу изучить документы ребёнка и подготовить заявление на ВНЖ либо жалобу на отказ миграционного подразделения.