Да, подать заявление Вы можете. Но сам по себе отказ в возбуждении дела по заявлению другого человека еще не означает, что он совершил заведомо ложный донос.
Для ответственности по статье 306 УК РФ нужно установить, что заявитель сообщил в правоохранительный орган сведения именно о преступлении, знал, что они не соответствуют действительности, и был предупрежден об ответственности за ложный донос. Если человек добросовестно ошибался в оценке поведения собаки, состава по этой статье может не быть.
Ваше видео — важное доказательство, однако оцениваться будет вся запись и другие материалы первоначальной проверки: текст заявления, объяснения участников, свидетели, место и время события. Особенно важно, какое основание указано в постановлении об отказе.
Подайте отдельное заявление в тот орган, который проводил проверку. Укажите номер первоначального материала, приложите копию постановления об отказе и видео в исходном виде, опишите, какие конкретно сведения заявитель сообщил и почему, по Вашему мнению, он заведомо знал об их ложности. Попросите зарегистрировать заявление и выдать подтверждение его принятия.
Итог зависит не только от отказа, а от доказательств заведомой лжи. Если в постановлении об отказе прямо установлено, что события не было, это усиливает Вашу позицию, но окончательное решение принимается после отдельной проверки.