Назим, добрый день.
Как гражданин Кыргызстана (страна-член ЕАЭС) Вы освобождены от патента и разрешения на работу, срок временного пребывания продлевается на весь период действия трудового договора без учёта общего 90-дневного лимита (п. 1 ст. 97 Договора о ЕАЭС от 29.05.2014, ст. 5 ФЗ №115-ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в РФ»). То есть само право у Вас есть, вопрос сейчас чисто технический: с фиксацией договора в системе МВД.
Обязанность работодателя. По ч. 8, 9 ст. 13 ФЗ №115-ФЗ именно работодатель обязан уведомить территориальный орган МВД о заключении трудового договора с иностранным работником, сделать это нужно в течение 3 рабочих дней с даты заключения договора, причём допускается направление уведомления почтой. Если уведомление отправлено почтой, но не отражено в базе, то проблема либо в сроке отправки, либо в том, что уведомление не дошло / не обработано, либо форма заполнена с ошибкой и было отклонено без уведомления Вас.
Риск для Вас. Хотя обязанность формально лежит на работодателе (и штраф за неуведомление по ст. 18.15 КоАП РФ платит именно он), на практике территориальный орган по вопросам миграции продлевает срок пребывания именно на основании сведений в своей базе, а не на основании самого факта наличия трудового договора у Вас на руках. Это значит, что при обращении за продлением миграционной карты без записи в базе Вам могут отказать или потребовать всё заново оформлять, невзирая на то что вины Вашей тут нет.
Вам нужно: получить у работодателя копию почтовой квитанции/описи вложения с датой отправки уведомления в МВД, это ключевое доказательство того, что обязанность была исполнена в срок.
Направить письменный запрос (или обратиться лично) в подразделение по вопросам миграции с требованием проверить, почему уведомление не отражено.
Параллельно подать заявление на продление срока пребывания, приложив трудовой договор и доказательство отправки уведомления, чтобы не выйти за пределы правомерного нахождения в РФ, пока идёт разбирательство с базой.