Положена ли отсрочка от армии внуку, ухаживающему за бабушкой-инвалидом?

Да, такая отсрочка возможна, но не автоматически — нужно соблюсти несколько условий одновременно. Я коротко разберу, что именно потребуется. 
Право на отсрочку закреплено в подпункте «б» пункта 1 статьи 24 Федерального закона «О воинской обязанности и военной службе». И ключевое здесь — круг родственников. Закон прямо включает в него бабушку (и дедушку), то есть внук в этой ситуации подпадает под норму. 
Но чтобы военкомат предоставил отсрочку, должны совпасть такие обстоятельства:
Постоянный уход. Речь не об эпизодической помощи, а о систематической поддержке: помощь с гигиеной, приёмом лекарств, передвижением, приготовлением еды. 
Заключение МСЭ. Нужно официальное заключение федерального учреждения медико-социальной экспертизы. Именно оно подтвердит, что бабушка по состоянию здоровья действительно нуждается в постоянном постороннем уходе. Сама по себе инвалидность I группы не даёт права на отсрочку — важно именно заключение о нуждаемости в уходе.
Нет других обязанных лиц. Призывная комиссия проверит, нет ли других трудоспособных родственников (детей, супруга, других внуков), которые по закону тоже обязаны содержать и ухаживать за бабушкой. Если такие есть и они могут взять обязанности на себя — в отсрочке откажут. 
Не на полном гособеспечении. Бабушка не должна постоянно проживать в специализированном учреждении социального обслуживания. Краткосрочное лечение в больнице не считается препятствием, если после выписки сохраняется потребность в постоянном домашнем уходе.
Что делать на практике?
Соберите документы: свидетельство о рождении (чтобы подтвердить родство), справку о составе семьи, заключение МСЭ.
Обратитесь в военкомат с заявлением о предоставлении отсрочки и приложите собранные документы.
Призывная комиссия рассмотрит ситуацию индивидуально и примет решение.
 
Важное уточнение про ВУЦ и военный билет. Тот факт, что вы обучались в военном учебном центре и имеете военный билет, сам по себе не даёт права на отсрочку по уходу за родственником. Но это может быть дополнительным аргументом в пользу того, что вы серьёзно относитесь к семейным обязанностям — комиссия учтёт это при оценке ситуации. 
Если в ходе рассмотрения документов возникнут сложности (например, комиссия сочтёт, что есть другие родственники, которые могли бы помочь), имеет смысл проконсультироваться с юристом, который специализируется на военном праве. В случае несогласия с решением комиссии его можно обжаловать.