По алиментам два варианта: либо нотариальное соглашение с бывшим мужем о размере и порядке выплат, либо, если он на это не идет, обращение в суд. Если спора об отцовстве и месте жительства детей нет и вы просите алименты в долях от заработка, мировой судья выдает судебный приказ без вызова сторон. Если у него нерегулярный доход или нужна твердая денежная сумма, либо возникнет спор, подается исковое заявление о взыскании алиментов в твердой сумме или одновременно в долях и в твердой сумме (ст. 81, 83 СК РФ).
Взыскать алименты за все три года, что дети на вашем содержании, по общему правилу нельзя: алименты присуждаются с момента обращения в суд (ст. 107 СК РФ). За прошедший период, в пределах трех лет, суд взыщет, только если докажете, что до обращения в суд вы принимали меры получить содержание, а муж уклонялся от уплаты. Поскольку он добровольно платил по 10 тысяч в месяц, это скорее будет расценено как неофициальная, пусть и заниженная, помощь, а не уклонение, поэтому довзыскать разницу за прошлое время будет сложно без доказательств именно уклонения: переписки, где вы просите оформить официально или увеличить сумму, а он отказывает или тянет время.
Регистрация детей по адресу отца на факт проживания не влияет: прописка это административный учет, а не место жительства в юридическом смысле (ст. 20 ГК РФ). Место жительства детей при раздельном проживании родителей определяется их соглашением, а при споре судом (ст. 65 СК РФ), и доказывается любыми средствами: справками из школы или садика по фактическому адресу посещения, из поликлиники по месту прикрепления, показаниями соседей, классного руководителя, участкового, перепиской с отцом, где видно, что дети живут с вами, документами об оплате вами их расходов за эти три года.
Если нужно решение конкретно под ваш случай, пишите в личный чат: pravoved.ru/lawyer/4502131/
За уже данный ответ буду рад поддержке любой суммой: pravoved.ru/lawyer/4502131/
Если пока не готовы, буду рад просто оценке ответа.
С уважением, Юрист Борис Гурин