Да, доверенность можно оформить на любого дееспособного человека — родство не требуется. Закон круг поверенных родственниками не ограничивает.
Доверенность — это письменное уполномочие одного лица другому для представительства перед третьими лицами (статья 185 Гражданского кодекса Российской Федерации, ГК РФ). Поверенным может быть друг, коллега, знакомый.
Нюанс в том, что карту восстанавливает иностранный банк (Беларусбанк), и требования к форме доверенности установит он. Как правило, банку нужна нотариально удостоверенная доверенность, а для действия за границей может потребоваться перевод.
Разумно заранее уточнить в самом Беларусбанке, какую доверенность он примет — объём полномочий, форму, язык — и уже под эти требования оформить документ у нотариуса. Так Вы избежите повторного визита из-за формальностей.