Возможно ли возбуждение уголовного дела после переписки в соцсети с несовершеннолетней?

Да, в данной ситуации с высокой долей вероятности будет возбуждено уголовное дело.

Несмотря на то, что мужчина не знал реального возраста девушки и не имел умысла на совершение преступления в отношении несовершеннолетней, его действия содержат признаки состава преступления, предусмотренного Уголовным кодексом РФ.

Вот подробный юридический разбор ситуации:

1. Какая статья УК РФ применима?
Наиболее вероятная квалификация действий мужчины — статья 135 УК РФ «Развратные действия».

Часть 1 статьи 135 УК РФ предусматривает ответственность за совершение развратных действий без применения насилия лицом, достигшим восемнадцатилетнего возраста, в отношении лица, заведомо не достигшего шестнадцатилетнего возраста.
2. Ключевой элемент: «Заведомо»
В уголовном праве это слово имеет решающее значение. Оно означает, что взрослый человек знал или сознательно допускал, что общается с лицом младше 16 лет.

В вашей ситуации мужчина написал девушке, в анкете которой было указано 18 лет. На момент написания сообщения у него не было оснований полагать, что она несовершеннолетняя.
Однако, как только девушка ответила, что ей 13 лет, ситуация кардинально изменилась. Мужчина получил достоверную информацию о её реальном возрасте.
3. Почему дело все равно могут возбудить?
С точки зрения следствия и суда, ключевым моментом является не только сам вопрос, но и отсутствие реакции на информацию о возрасте.

Факт совершения действия: Мужчина 29 лет написал 13-летней девочке предложение сексуального характера. Это само по себе является развратным действием (интеллектуальное развращение).
Бездействие после получения информации: Получив ответ «мне 13 лет», мужчина не прекратил общение, не извинился и не заблокировал контакт. Он продолжил общение (пусть и прервал диалог) и, что самое важное, не предпринял никаких действий, чтобы остановить ситуацию. Он просто оставил это так, как есть.
Отсутствие извинений и раскаяния: Тот факт, что он не попытался связаться с родителями или как-то загладить вину, а просто «затаился», будет трактоваться не в его пользу.
Следствие может квалифицировать это как преступление, совершенное в отношении лица, заведомо не достигшего 14 лет (что подпадает под часть 2 или часть 3 статьи 135 УК РФ, в зависимости от того, как будет трактоваться его бездействие после получения информации), либо как преступление по ст. 135 ч.1, если следствие решит, что до момента ответа девушки он не знал её возраста.

Итог
Да, правоохранительные органы с большой вероятностью отреагируют на заявление отца. Будет проведена проверка, в ходе которой:

Следователь изымет переписку (у мужчины из ВК и у девушки).
Установят личности участников.
Допросят всех участников.
Для мужчины это может закончиться возбуждением уголовного дела. Даже если дело будет возбуждено по «мягкой» части статьи (где возраст до 16 лет), это все равно судимость и серьезные последствия для биографии.

Важно: Данная информация носит справочный характер. Для получения точной юридической консультации и выстраивания линии защиты необходимо обратиться к адвокату.

Будет в данном случае заведено уголовное дело?

Нет. Не будет. Потому что этой девочки в реальности не существует. Как и её отца, и обращения в полицию. Это типичный приём мошенников, способ вымогательства.

Прекратите переписку с мошенниками, игнорируйте их. Или напишите, что сами обратились в полицию с заявлением. Они и отстанут от Вас.