Екатерина, добрый день.
Нотариус нужен.
Дарение квартиры (недвижимости) несовершеннолетнему сейчас оформляют с обязательным нотариальным удостоверением договора, плюс нотариус дальше сам отправляет документы в Росреестр.
Согласие бывшего супруга, скорее всего, потребуется.
Хотя квартира куплена до брака, часть ипотеки гасилась уже в браке, и такие объекты суды и Росреестр часто рассматривают как совместно нажитое имущество в соответствующей доле, даже если оформлено только на вас.
Поэтому на практике при дарении квартиры/доли ребенку регистратор и нотариус обычно требуют нотариальное согласие супруга, если есть риск, что имущество признают совместным; формально вы уже в разводе, но речь идет о правах бывшего супруга на совместно оплаченный объект.
По‑хорошему, вам нужно разобрать:
как и когда заключался кредитный договор;
чем и в какие периоды гасилась ипотека (есть ли доказательства, что после брака платили только вы и за свой счет);
были ли брачный договор или соглашения о разделе имущества.
На основе этих документов можно понять, можно ли оформить дарение без согласия бывшего мужа или безопаснее его получить (чтобы потом не оспаривали сделку).